Алексей Геннадьевич Кульченко в 1999 году после окончания Волгоградского юридического института МВД России начал служебную деятельность с должности следователя ОВД Октябрьского района.
Впоследствии на протяжении более десяти лет проходил службу в Управлении уголовного розыска Главка на различных должностях. В 2010 году возглавил ОВД Октябрьского района. С 2011 по 2017 год руководил отделом полиции № 6 (Советский район) Управления МВД России по г. Волгограду. С июля 2017 по декабрь 2018 — являлся заместителем начальника Управления — начальником полиции Управления МВД России по городу Волгограду. С 2018 года по март 2021 года руководил Отделом МВД России по Светлоярскому району.
В 2020 году выезжал в длительную служебную командировку на Северный Кавказ. За отличную службу неоднократно награждался ведомственными наградами.
Приказом министра внутренних дел Российской Федерации от 29 марта 2021 года полковник полиции Кульченко Алексей — начальник отдела МВД России по Светлоярскому району Волгоградской области назначен на должность заместителя начальника Управления — начальника полиции Управления МВД России по Архангельской области.